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《知音记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。

《知音记》中的罗斯终于能把沙发搬进屋了。

生计中处处充满数学，比如在经典好意思剧《知音记》中，罗斯要搬家，却在和瑞秋抬沙发上楼梯扶手时翻了车。这波及了数学范围一个著名的未处理难题 —— 移动沙提问题（the moving sofa problem）。

起头：《知音记 S05E16》

该问题是由加拿大数学家 Leo Moser 于 1966 年讲求残暴：在宽度为 1 的 L 形平面走廊中，简略通过一个直角转弯的「沙发」的最大面积是几许？

1968 年，数学家 John Michael Hammersley 残暴了一种节略的解法。他将沙发猜度打算成肖似于一个电话听筒的状态，由两个四分之一圆和一个中间的矩形块组成，中间的矩形块中挖去了一个半圆形，从而得出的沙发最大面积为 2.2074。

但缺憾的是，这并不是最优解。

1992 年，好意思国数学家 Gerver 在 Hammersley 沙发的基础上进行了矫正，算出的最大沙发面积为 2.2195，诚然比 Hammersley 沙发面积略大一些，但在活动上却颖慧得多。

Gerver 沙发由 18 条不同的弧线段组成，其中包括圆弧、圆的渐开线以及圆的渐开线的渐开线等多种弧线。每条弧线段王人由一个单独的认知抒发式描述，这使得 Gerver 沙发在数学上尽头复杂。

Gerver 推测他的处理决议是最优的，但他无法讲授他的沙发是唯独一个（况兼是最大面积的）自高这个强条款的沙发。

2024 年 12 月 2 日，韩国粹者 Jineon Baek 发表了一篇新论文，宣称讲授了 Gerver 确乎是正确的 —— 他的沙发是最优的。这项量度在玩忽媒体（如 x）上的热度尽头高，引起了好多东谈主的体恤。

图源：x@Scientific_Bird

图源：x@morallawwithin

不外，Jineon Baek 的讲授论文足足有 119 页，题目为《Optimality of Gerver’s Sofa》。关系行家考据讲授的正确性还需要一些时候。

论文地址：https://arxiv.org/pdf/2411.19826

这谈困扰东谈主类 58 年的数学难题终于有了谜底，不少网友也发表了我方的宗旨。

「我以致不是数学家，自从 20 年前外传这个问题后，我就一直在想考它。每次我需要把东西通过门时，我王人会意想这个问题。」

「我没意想这个状态会是最优的，这 18 个部分看起来不够优雅。」

讲授经由简述

论文共分 8 章，目次如下：

纲目唯有一句话，「通过讲授具有 18 个弧线段的 Gerver 沙发确凿达到了最大面积 2.2195，进而处理了移动沙提问题」。

下图为 Gerver 的沙发 G。刻度示意组成 G 规模的 18 条认知弧线和线段的端点，包含 G 的撑合手走廊 L_t 在右侧以灰色示意。

在讲授 Gerver 的沙发 G 达到最大面积的经由中，作家除了在科学磋议器上进行数值磋议以外，莫得使用任何的磋议机扶助。下图 1.3 为从走廊（顶部）和沙发（底部）视角来看移动沙发的移动。

底下为作家要讲授的定理 1.1.1。

这个问题之是以很难，是因为莫得一个通用的公式不错磋议悉数可能的移动沙发面积。因此，为了处理这个问题，作家讲授了最大面积的移动沙发 S_max 的一个属性，被称为可注入性条款（injectivity condition）。

对于每个自高条款的移动沙发 S，作家将界说一个更大的状态 R，它肖似于 Gerver 沙发的状态（下图 1.2）。那么 R 的面积 Q (S) 等于 S 面积的上限，如若是 Gerver 沙发 G，则 Q (S) 与 S 的精准面积相匹配。S 的可注入性条款确保区域 R 的规模造成 Jordan 弧线，从而简略使用格林定理磋议 Q (S)。

然后，移动沙发 S 面积的上界 Q (S) 相对于 S 的最大值如下所示：作家使用 Brunn-Minkowski 表面将 Q 示意为凸体元组 (K,B,D) 空间 L 上的二次函数（上图 1.2），并使用 Mamikon 定理配置 Q 在 L 上的全局凹性（下图 1.13）。

作家使用加州大学戴维斯分校数学系训导 Dan Romik [Rom18] 对于 Gerver 沙发 G 的局部最优方程，来讲授 S = G 局部最大化 Q (S)。由于 Q 是凹的，因此 G 也全局最大化 Q。况兼，由于上界 Q 与 G 处的面积相匹配，因此沙发 G 也全局最大化了面积，从而讲授定理 1.1.1。

具体来讲，定理 1.1.1 的好意思满讲授分为以下三个主要法子：

作家提供了法子 1、2、3 的更细分法子。

其中法子 1-(a) 将 S_max 的可能状态削弱为单调沙发（monotone sofa），即由撑合手走廊内角雕琢出的凹痕的凸体（下图 1.4）。

法子 1-(b) 从头讲授了 Gerver 的一个紧要局部最优条款，即 S_max 的边长应该互相均衡（定理 1.3.1）。

由于 Gerver 的原始讲授存在逻辑毛病，莫得处理移动沙发的连通性问题，因此作家引入了新的方针并从头进行了讲授。法子 1-(c) 使用前边的法子和基本几何来标明 S_max 在移动经由中旋转了整整一个直角。

法子 2 讲授了 S_max 上的可注入性条款，这是之后配置上限 Q 的关节。它标明 L 内角 (0,0) 的轨迹在移动沙发的视角（参考系）中不会造成自环（下图 1.9）。

为了讲授 S_max 的这一条款，作家在 S_max 上配置了一个新的微分不等式（等式 (1.9)。该不等式受到了 Romik 的一个 ODE 的启发，该 ODE 均衡了 Gerver 沙发的微分边（等式 (1.8)）。

法子 3-(a) 将悉数移动沙发的空间 S 扩张为具有单射条款的凸体元组 (K,B,D) 的蚁集 L，使得每个 S 逐一映射到 (K,B,D) ∈ L（但不一定到 L）。该凸体描述了包围 S 的区域 R 的不同部分（上图 1.2）。

法子 3-(b) 界说了扩张域 L 上的上界 Q。作家效能 R 的规模，并使用格林定理和 Brunn-Minkowski 表面中对于 K、B 和 D 的二次面积抒发式来示意其面积 Q。同期使用单射条款和 Jordan 弧线定理严格讲授 Q (K,B,D) 是 S 面积的上界。

法子 3-(c) 使用 Mamikon 定理细则 Q 在 L 上的凹度（上图 1.13）。法子 3-(d) 磋议由 Gerver 沙发 G 产生的凸体 (K,B,D) ∈ L 处 Q 的标的导数。Romik [Rom18] 在 G 上的局部最优 ODE 用于标明标的导数经久为非碰劲。这意味着 G 是 Q 在 L 中的局部最优值。Q 在 L 上的凹度意味着 G 亦然 Q 在 L 中的全局最优值。由于 G 处 Q 的值与面积匹配，沙发 G 也全局最大化了面积，最终完成定理 1.1.1 的讲授。

更具体的讲授细节请参考原论文。

作家先容

这篇论文的作家 Jineon Baek，本科毕业于韩国浦项科技大学，博士本领就读于好意思国密歇根大学安娜堡分校。现为韩国首尔延世大学的博士后量度员，导师是 Joonkyung Lee。

Jineon Baek2018 年西席对于非对角线 Erdős-Szekeres 凸多边形问题视频截图

他主要量度好奇是组合数学和几何学中的优化问题，这类问题每每通过节略却道理道理的表述，简略迷惑更庸碌的受众。

他在东谈主工智能范围也发表过一些关系著作。他在医学图像处理、栽种数据挖掘等范围发表了多篇会议和期刊论文，稀奇是在 X 射线 CT 图像去噪、考研分数展望、范例化考研准备推选系统等方面有所孝敬。

查阅 Jineon Baek 发表过的著作，就会发现这还是不是他第一次量度移动沙提问题了。在本年 6 月他就移动沙发的上限问题进行了量度。在新著作发布的 12 月 2 日本日，arxiv 上知晓，这篇论文提交了一个更新版块（v2），之后除掉了该版块。

当今，不少网友在网上商讨《Optimality of Gerver's Sofa》。

「尽头直不雅，恰是大无数东谈主会猜测的那样。不外，我猜讲授这少许要珍藏得多吧？」

「在推行生计中，谜底取决于天花板的高度以及沙发是否带有可歪斜的靠背。」

「对于沙发来说，这确实是一个厄运的猜度打算。」

你怎么看这个移动沙发的最优解呢？

参考连系：

https://x.com/deedydas/status/1865060166322032764

https://x.com/Scientific_Bird/status/1865116279574528088

https://jcpaik.github.io/CV.pdf体育游戏app平台